11/01/2018, 13:29
Bài 5 trang 83 sgk toán 11
Bài 5 trang 83 sgk toán 11 Bài 5. Chứng minh rằng ...
Bài 5 trang 83 sgk toán 11
Bài 5. Chứng minh rằng
Bài 5. Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi (n) cạnh là ({{n(n - 3)} over 2})
Giải:
Ta chứng minh khẳng định đúng với mọi (n in{mathbb N}^*), (n ≥ 4).
Với (n = 4), ta có tứ giác nên nó có hai đường chéo.
Mặt khác thay (n = 4) vào công thức, ta có số đường chéo của tứ giác theo công thức là: ({{4(4 - 3)} over 2} = 2)
Vậy khẳng định đúng với (n= 4).
Giả sử khẳng định đúng với (n = k ≥ 4), tức là đa giác lồi (k) cạnh có số đường chéo là ({{k(k - 3)} over 2})
Ta phải chứng minh khẳng định đúng với (n = k + 1). Nghĩa là phải chứng minh đa giác lồi (k + 1) cạnh có số đường chéo là ({{(k + 1)((k + 1) - 3)} over 2})
Xét đa giác lồi (k + 1) cạnh
Nối (A_1) và (A_k), ta được đa giác (k) cạnh (A_1A_2...A_k) có ({{k(k - 3)} over 2}) đường chéo (giả thiết quy nạp). Nối (A_{k+1}) với các đỉnh (A_1,A_2,...,A_{k-1}), ta được thêm (k -2) đường chéo, ngoài ra (A_1A_k) cũng là một đường chéo.
Vậy số đường chéo của đa giác (k + 1) cạnh là
({{k(k - 3)} over 2}+ k - 2 + 1 ={{{k^2} - k - 2} over 2} = {{(k + 1)((k + 1) - 3)} over 2})
Như vậy, khẳng định cũng đúng với đa giác (k + 1) cạnh
Vậy bài toán đã được chứng minh.
soanbailop6.com
