Bài 40 trang 57 sgk Toán 9 tập 2

Bài 40 trang 57 sgk Toán 9 tập 2

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ

Bài 40. Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a) (3{({x^2} + { m{ }}x)^2}-{ m{ }}2({x^2} + { m{ }}x){ m{ }}-{ m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0);            

b) ({({x^2}-{ m{ }}4x{ m{ }} + { m{ }}2)^2} + { m{ }}{x^2}-{ m{ }}4x{ m{ }}-{ m{ }}4{ m{ }} = { m{ }}0);

c) (x - sqrt{x} = 5sqrt{x} + 7);                             

d) (frac{x}{x+ 1} – 10 . frac{x+1}{x}= 3)

Hướng dẫn: a) Đặt (t{ m{ }} = { m{ }}{x^2} + { m{ }}x), ta có phương trình (3{t^2}-{ m{ }}2t{ m{ }} - { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0). Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của (t). Thay mỗi giá trị của (t) vừa tìm được vào đằng thức (t{ m{ }} = { m{ }}{x^2} + { m{ }}x) , ta được một phương trình của ẩn (x). Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của (x).

d) Đặt (frac{x+1}{x} = t) hoặc (frac{x}{x+ 1} = t)

Bài giải:

a) (3{({x^2} + { m{ }}x)^2}-{ m{ }}2({x^2} + { m{ }}x){ m{ }}-{ m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0). Đặt (t{ m{ }} = { m{ }}{x^2} + { m{ }}x), ta có:

(3{t^2}{ m{  - }}2t{ m{  - }}1 = 0;{t_1} = 1,{t_2} =  - {1 over 3})

Với ({t_1} = 1), ta có: ({x^2} + { m{ }}x{ m{ }} = { m{ }}1{ m{ }}) hay ({ m{ }}{x^2} + { m{ }}x{ m{ }}-{ m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0,Delta { m{  = }}4{ m{ }} + { m{ }}1{ m{  = }}5,{ m{ }}sqrt Delta   = sqrt 5 )

({x_1} = {{ - 1 + sqrt 5 } over 2},{x_2} = {{ - 1 - sqrt 5 } over 2})

Với ({t_2}= -frac{1}{3}), ta có: ({x^2} + x =  - {1 over 3})hay (3{x^2} + 3x{ m{  + }}1{ m{  = }}0):

Phương trình vô nghiệm, vì (Delta = 9 – 4 . 3 . 1 = -3 < 0)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: ({x_1} = {{ - 1 + sqrt 5 } over 2},{x_2} = {{ - 1 - sqrt 5 } over 2})

b) ({({x^2}-{ m{ }}4x{ m{ }} + { m{ }}2)^2} + { m{ }}{x^2}-{ m{ }}4x{ m{ }}-{ m{ }}4{ m{ }} = { m{ }}0)

Đặt (t{ m{ }} = { m{ }}{x^2}-{ m{ }}4x{ m{ }} + { m{ }}2), ta có phương trình ({t^2} + { m{ }}t{ m{ }}-{ m{ }}6{ m{ }} = { m{ }}0)

Giải ra ta được ({t_1} = { m{ }}2,{ m{ }}{t_2} = { m{ }} - 3).

- Với ({t_1}= 2) ta có: ({x^2}-{ m{ }}4x{ m{ }} + { m{ }}2{ m{ }} = { m{ }}2) hay ({x^2}-{ m{ }}4x{ m{ }} = { m{ }}0). Suy ra ({x_1} = { m{ }}0,{ m{ }}{x_2} = { m{ }}4).

- Với ({t_2}= -3), ta có: ({x^2}-{ m{ }}4x{ m{ }} + { m{ }}2{ m{ }} = { m{ }} - 3) hay ({x^2}-{ m{ }}4x{ m{ }} + { m{ }}5{ m{ }} = { m{ }}0).

Phương trình này vô nghiệm vì (Delta= {(-4)}^2 – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4 < 0)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: ({x_1} = 0, {x_2}= 4).

c) (x - sqrt{x} = 5sqrt{x} + 7). Điều kiện: (x ≥ 0). Đặt (t = sqrt{x}, t ≥ 0)

Ta có:({t^2}-{ m{ }}6t{ m{ }}-{ m{ }}7{ m{ }} = { m{ }}0). Suy ra: ({t_1}= -1) (loại), ({t_2}= 7)

Với (t = 7), ta có: (sqrt{x} = 7). Suy ra (x = 49).

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm: (x = 49)

d) (frac{x}{x+ 1}– 10 . frac{x+1}{x} = 3). Điều kiện: (x ≠ -1, x ≠ 0)

Đặt (frac{x}{x+ 1}) = t, ta có: (frac{x+1}{x}) = (frac{1}{t}). Vậy ta có phương trình: (t - frac{10}{t} – 3 = 0)

hay: ({t^2}-{ m{ }}3t{ m{ }}-{ m{ }}10{ m{ }} = { m{ }}0). Suy ra ({t_1} = 5, {t_2} = -2).

- Với ({t_1}= 5), ta có (frac{x}{x+ 1} = 5) hay (x = 5x + 5). Suy ra (x = -frac{5}{4})

-  Với ({t_2} = -2), ta có (frac{x}{x+ 1}= -2) hay (x = -2x – 2). Suy ra (x = -frac{2}{3}).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: ({x_1}= -frac{5}{4}), ({x_2} =-frac{2}{3})  

soanbailop6.com