Bài 2 trang 18 sách sgk giải tích 12

Bài 2 trang 18 sách sgk giải tích 12

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

Bài 2. Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

      a) (y{ m{ }} = { m{ }}{x^4} - { m{ }}2{x^2} + { m{ }}1) ;       (b) y = sin2x – x);

      c)(y = sinx + cosx);         d)(y{ m{ }} = { m{ }}{x^5}-{ m{ }}{x^3}-{ m{ }}2x{ m{ }} + { m{ }}1).

Giải:

a) (y'{ m{ }} = 4{x^3}-{ m{ }}4x{ m{ }} = { m{ }}4x({x^2} - { m{ }}1)) ;

(y' = 0) (⇔ 4x()(x^2)( - 1) = 0 ⇔ x = 0, x = pm 1).

( y' = 12x^2-4).

(y'(0) = -4 < 0) nên hàm số đạt cực đại tại (x = 0),

(y)_cđ =( y(0) = 1).

(y'(pm 1) = 8 > 0) nên hàm số đạt cực tiểu tại (x = pm1),

(y)_ct = (y(pm1)) = 0.

b) (y' = 2cos2x - 1) ;
(y'=0Leftrightarrow cos2x=frac{1}{2}Leftrightarrow 2x=pm frac{pi }{3}+k2pi)

(Leftrightarrow x=pm frac{pi }{6}+kpi .)

 (y' = -4sin2x) .

 (y'left ( frac{pi }{6} +kpi ight )=-4sinleft ( frac{pi }{3} +k2pi ight )=-2sqrt{3}<0) nên hàm số đạt cực đại tại các điểm (x = frac{pi }{6}+ kπ),

(y)_cđ =( sin(frac{pi }{3}+ k2π) - frac{pi }{6} - kπ) = (frac{sqrt{3}}{2}-frac{pi }{6}- kπ) , (k ∈mathbb Z).

(y'left ( -frac{pi }{6} +kpi ight )=-4sinleft (- frac{pi }{3} +k2pi ight )=2sqrt{3}>0) nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm (x =-frac{pi }{6}+ kπ),

(y)_ct = (sin(-frac{pi }{3}+ k2π) + frac{pi }{6} - kπ) =(-frac{sqrt{3}}{2}+frac{pi }{6} - kπ) , (k ∈mathbb Z).

c) (y = sinx + cosx )= (sqrt{2}sinleft (x+frac{pi }{4} ight ));          

( y' )=(sqrt{2}cosleft (x+frac{pi }{4} ight )) ;

 (y'=0Leftrightarrow cosleft (x+frac{pi }{4} ight )=0Leftrightarrow)(x+frac{pi }{4} =frac{pi }{2}+kpi Leftrightarrow x=frac{pi }{4}+kpi .)

(y'=-sqrt{2}sinleft ( x+frac{pi }{4} ight ).) 

(y'left ( frac{pi }{4} +kpi ight )=-sqrt{2}sinleft ( frac{pi }{4}+kpi +frac{pi }{4} ight ))

(=-sqrt{2}sinleft ( frac{pi }{2} +kpi ight ))

(=left{ matrix{
- sqrt 2 ext{ nếu k chẵn} hfill cr
sqrt 2 ext{ nếu k lẻ} hfill cr} ight.)

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm (x=frac{pi }{4}+k2pi),

đạt cực tiểu tại các điểm (x=frac{pi }{4}+(2k+1)pi (kin mathbb{Z}).)

d) (y'{ m{ }} = { m{ }}5{x^4} - { m{ }}3{x^2} - { m{ }}2{ m{ }} = { m{ }}({x^2} - { m{ }}1)(5{x^2} + { m{ }}2)); (y'{ m{ }} = { m{ }}0 Leftrightarrow {x^{2}} - { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0 Leftrightarrow { m{ }}x{ m{ }} =  pm 1).

(y'{ m{ }} = { m{ }}20{x^{3}} - { m{ }}6x).

(y'(1) = 14 > 0) nên hàm số đạt cực tiểu tại (x = 1),

(y)_ct =( y(1) = -1).

(y'(-1) = -14 < 0) hàm số đạt cực đại tại (x = -1),

(y)_cđ = (y(-1) = 3).

soanbailop6.com