Bài 17 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn:

(C1) : ({left( {x - 2} ight)^2} + {left( {y - 2} ight)^2} = 4)

và (C2) : ({left( {x - 5} ight)^2} + {left( {y - 3} ight)^2} = 16)

a) Chứng minh rằng hai đường tròn (C1) , (C2)  cắt nhau ;

b) Tìm tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.40)

a) (C1) có tâm I(2 ; 2) và bán kính ({R_1} = 2)

   (C2) có tâm J(5 ; 3) và bán kính ({R_2} = 4)

Ta có:

(IJ = sqrt {{{left( {5 - 2} ight)}^2} + {{left( {3 - 2} ight)}^2}}  = sqrt {10} .)

Do: ({R_2} - {R_1} < IJ < {R_2} + {R_1})

Nên (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi (Delta ) và (Delta' ) là hai tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) . (Delta ) tiếp xúc với (C1) và (C2) lần lượt tại A, B. (Delta' ) tiếp xúc với (C1) và (C2) lần lượt tại A', B'.

Ta có:

(left{ matrix{
d(I,Delta ) = d(I,{Delta'}) = {R_1} = 2 hfill cr
d(J,Delta ) = d(J,{Delta'}) = {R_2} = 4 hfill cr} ight. Rightarrow IJ,Delta ) và (Delta' ) đồng quy tại M.

(eqalign{
& {{JM} over {IM}} = {{JB} over {IA}} = {{{R_2}} over {{R_1}}} = 2 cr
& Rightarrow overrightarrow {JM} = 2overrightarrow {JI} cr
& Rightarrow left{ matrix{
{x_M} - 5 = 2.left( {2 - 5} ight) hfill cr
{y_M} - 3 = 2.(2 - 3 hfill cr} ight. cr
& Rightarrow left{ matrix{
{x_M} = - 1 hfill cr
{y_M} = 1. hfill cr} ight. cr} )

Vậy ta được M(-1 ; 1).

Sachbaitap.net