Bài 1 trang 25 SGK Hình học 12
Giải bài 1 trang 25 SGK Hình học 12. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a. ...
Giải bài 1 trang 25 SGK Hình học 12. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.
Đề bài
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh (a).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Gọi (AH) là đường cao hạ từ đỉnh A của tứ diện đều (ABCD) (left({H in (BCD)} ight)).
+) Do tứ diện ABCD đều, chứng minh H là trong tâm tam giác (ABC).
+) Sử dụng định lí Pytago tính độ dài (AH).
+) Áp dụng công thức tính thể tích: ({V_{ABCD}} = frac{1}{3}AH.{S_{BCD}}).
Lời giải chi tiết
Cho tứ diện đều (ABCD). Hạ (AH ot left( {BCD} ight))
Dễ dàng chứng minh được ({Delta _v}AHB = {Delta _v}AHC = {Delta _v}AHD,,left( {ch - cgv} ight) Rightarrow HB = HC = HD,) do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (BCD).
Do (BCD) là tam giác đều nên (H) là trọng tâm của tam giác (BCD).
Do đó (BH = {2 over 3}.{{sqrt 3 } over 2}a = {{sqrt 3 } over 3}a)
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông (ABH) ta có: (A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {a^2} - frac{{{a^2}}}{3} = frac{{2{a^2}}}{3} Rightarrow AH = frac{{asqrt 6 }}{3}).
Do tam giác (BCD) đều cạnh (a) nên: ({S_{BCD}} = frac{{{a^2}sqrt 3 }}{4})
Vậy ({V_{ABCD}} = frac{1}{3}AH.{S_{BCD}} = frac{1}{3}.frac{{asqrt 6 }}{3}.frac{{{a^2}sqrt 3 }}{4} = frac{{{a^3}sqrt 3 }}{{12}}.)
soanbailop6.com
