Bài 1,2,3,4,5,6 trang 25,26 hình 12: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Bài 1,2,3,4,5,6 trang 25,26 hình 12: Khái niệm về thể tích của khối đa diện

Hướng dẫn Giải bài 1,2,3,4 trang 25; bài 5,6 trang 26 hình 12: Khái niệm về thể tích của khối đa diện.

A.Tóm tắt lý thuyết về thể tích của khối đa diện

1. Có thể đặt tương ứng cho mỗi khối đa diện H một số dương V_H thỏa mãn các tính chất sau:

a) Nếu H là khối lập phương có cạnh bằng một thì V_{H =1}.

b) Nếu hai khối đa diện H₁ và H₂  bằng nhau thì V_{1 = V2}.

c) Nếu khối đa diện H được phân chia thành hai khối đa diện: H₁ và H₂ thì V_{H = VH1} +  V_H2 Số dương V_H nói trên được gọi là thể tích của khối đa diện H.
Khối lập phương có cạnh bằng một được gọi là khối lập phương đơn vị.
Nếu H là khối lăng trụ ABC.A’B’C’ chẳng hạn thì thể tích của nó còn được kí hiệu là V_{ABC.A’B’C’}

2. Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là

V = B.h

Đặc biệt thể tích của khối hộp chữ nhật bằng tích của ba kích thước của nó.

3. Thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng B và chiều cao bằng h là V= 11/3Bh

Kiến thức bổ sung : 

4. Cho hình chóp S.ABC. Trên ba tia SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’.

Khi đó 

5. Nếu H’ là ảnh của H qua một phép dời hình thì 

Nếu H’ là ảnh của H qua một phép vị tự tỉ số k thì 

6. Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều :

Ở đây diện tich toàn phần và thể tích được tính theo cạnh a của đa diện đều.

B.Giải bài tập sách giáo khoa hình 12 trang 25, 26

Bài 1.Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.

Cho tứ diện đều ABCD. Hạ đường cao AH của tứ diện thì do các đường xiên AB, AC, AD bằng nhau nên các hình chiếu của chúng: HB, HC, HD bằng nhau. Do BCD là tam giác đều nên H là trọng tâm của tam giác BCD.

Do đó BH =Từ đó suy ra AH² = a² – BH² = 6/9 a²

Nên AH = √6/3 a

Thể tích tứ diện đó V=

Bài 2. Tính thể tích khối bát diện đều cạnh a.

Chia khối tám mặt đều cạnh a thành hai khối chóp tứ giác đều cạnh a.

Gọi h là chiều cao của khối chóp thì dễ thấy

nên từ đó thể tích khối tám mặt đều cạnh a là:

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính thể tích của khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’.

Gọi S là diện tích đáy ABCD và h là chiều cao của khối hộp. Chia khối hộp thành khối tứ diện ACB’D’ và bốn khối chóp A.A’B’D’, C.C’B’D’, B’.BAC và D’. DAC. Ta thấy bốn khối chóp sau đều có diện tích đáy bằng S/2 và chiều cao bằng h, nên tổng các thể tích của chúng bằng Từ đó suy ra thể tích của khối tứ diện

ACB’D’=1/3 Sh. Do đó tỉ số của thể tích khối hộp đó và thể tích của khối tứ diện ACB’D’ bằng 3.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng

Gọi h và h’ lần lượt là chiều cao hạ từ A, A’ đến mặt phẳng (SBC).

Gọi S₁ và S₂ theo thứ tự là diện tích các tam giác SBC và SB’C’.

Khi đó ta có

Suy ra:

Bài 5. (Trang 26  Hình 12 )Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với SD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tình thể tích khối tứ diện CDEF theo a.

⇒ BA ⊥ (ADC)⇒ BA ⊥ CE

Mặt khác BD ⊥ (CEF) ⇒ BD ⊥ CE.

Từ đó suy ra

CE ⊥ (ABD) ⇒ CE ⊥ EF, CE ⊥ AD.

Vì tam giác ACD vuông cân, AC= CD= a nên Ta có

Từ đó suy ra:Từ đó suy ra

Bài 6.Cho hai đường thẳng chéo nhau d và d’. Đoạn thằng AB có độ dài a trượt trên d, đoạn thẳng CD có độ dài B trượt trên d’. Chứng minh rằng khối tứ diện ABCD có thể tích không đổi.

Gọi h là độ dài đường vuông góc chung của d và d’, α là góc giữa hai đường thẳng d và d’. Qua B, A, C dựng hình bình hành BACF. Qua A,C, D dựng hình bình hành ACDE.

Khi đó CFD.ABE là một hình lăng trụ tam giác. Ta có: