Giải bài 1,2,3,4 SGK trang 18 hình học lớp 12: khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Hướng dẫn giải bài 1,2,3,4 SGK trang 18 hình học lớp 12: khối đa diện lồi và khối đa diện đều – chương 1 Khối đa diện.

A. Tóm tắt Lý thuyết khối đa diện lồi và khối đa diện đều

1. Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện giới hạn (H) được gọi là đa diện lồi.

2. Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khi miền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng đi qua một mặt của nó.

3. Một khối đa diện lồi được gọi là khối đa diện đều loại { p,q} nếu:

a) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh.

b) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.

4. Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và bằng nhau.

5. Có năm loại khối đa diện đều. Đó là các khối đa diện đều loại {3,3}, loại {4,3}, loại {3,4}, loại {5,3}, và loại {3,5}.

Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo theo thứ tự được gọi là khối đa diện đều, khối lập phương, khối tám mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều.

6. Hai khối đa diện đều có cùng số mặt và có cạnh bằng nhau thì bằng nhau.

7. Hai khối đa diện đều có cùng số mặt thì đồng dạng với nhau.

Xem lại bài tập: (Bài 1,2,3,4 trang 12)

B. Giải bài tập sách giáo khoa hình học 12 trang 18

Bài 1. (Trang 18 SGK hình 12 chương 1)

Cắt bìa theo mẫu dưới đây, gấp theo đường kẻ, rồi dán các mép lại để được các hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều.

Hướng dẫn giải bài 1: Các em tự gấp.

Bài 2. (Trang 18 SGK hình 12 chương 1)

Cho hình lập phương (H). Gọi (H’) là hình bát diện đều có các đỉnh là tâm các mặt của (H). Tính tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’).

Hướng dẫn giải bài 2: 

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ . Gọi E, F, G, I, J, K là tâm của các mặt của nó. Khi đó các đỉnh E, F, G, I, J, K tạo thành hình bát diện đều EFGIJK.

Đặt AB = a, thì  EJ = 1/2 A’B = √2/2 a. Diện tích tam giác đều (EFJ) bằng (√3/8)a².

Suy ra diện tích toàn phần của hình bát diện (H’) bằng √3a². Diện tích toàn phần của hình lập phương (H) bằng 6a² . Do đó tỉ số diện tích toàn phần của (H) và (H’) bằng                                       

Bài 3. (Trang 18 SGK hình 12 chương 1)

Chứng minh rằng tâm của các mặt của hình tứ diện đều là các đỉnh của một hình tứ diện đều.

Hướng dẫn giải bài 3: 

Cho hình tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi E, F, I, J lần lượt là tâm của các mặt ABC, ABD, ACD, BCD (H.11).

Vì  ME/MC = MF/MD =1/3, nên EF/CD = 1/3.

Suy ra  EF = CD/3 = a/3.

Tương tự, các cạnh khác của tứ diện EFIJ đều bằng  a/3.

Do đó tứ diện EFIJ là một tứ diện đều.

Bài 4. (Trang 18 SGK hình 12 chương 1)

Bài 4. Cho hình bát diện đều ABCDEF (h.1.24).

Chứng minh rằng :

a) Các đoạn thẳng AF, BD và CE đôi một vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

b) ABFD, AEFC và BCDE là những hình vuông.

Hướng dẫn giải bài 4

a) Do B, C, D, E cách đều A và F nên chúng đồng phẳng (cùng thuộc mặt phẳng trung trực của AF).

Tương tự, A, B, F, D đồng phẳng và A, C, F, E đồng phẳng

Gọi I là giao của (AF) với (BCDE). Khi đó B, I, D là những điểm chung của hai mặt phẳng (BCDE) và (ABFD) nên chúng thẳng hàng. Tương tự, E, I , C thẳng hàng.

Vậy AF, BD, CE đồng quy tại I.

Vì BCDE là hình thoi nên BD vuông góc với BC và cắt BC tại I là trung điểm của mỗi đường. I là trung điểm của AF và AF vuông góc với BD và EC, do đó các đoạn thẳng AF, BD, và CE đôi một vuông góc với nhau cắt nhau tại trung điểm của chúng.

b) Do AI vuông góc (BCDE) và AB = AC =AD = AE nên IB = IC= ID = IE. Từ đó suy ra hình thoi BCDE là hình vuông. Tương tự, ABFD, AEFC là những hình vuông

Tiếp theo: Giải bài 1,2,3,4,5,6 trang 25, 26 (Bài Khái niệm về thể tích của khối đa diện)