Giải bài 1,2,3,4,5 trang 88 SGK Hình học lớp 10: Phương trình đường elip

Đáp án và Giải bài 1,2,3,4,5 trang 88 SGK Hình học lớp 10 – Giải bài Phương trình đường elip.

Trước khi làm bài tập, các em nên ôn lại kiến thức đã học trên lớp và trong sách giáo khoa. Các kiến thức cần nhớ:

– Định nghĩa đường elip
– Phương trình chính tắc của elip
– Hình dạng của elip
– Liên hệ giữa đường tròn và elip

Bài 1 trang 88 SGK Hình học 10

Xác đinh độ dài các trục, tọa độ tiêu điểm , tọa độ các đỉnh và vẽ các elip có phương trình sau:
a) x²/25 + y²/9 = 1;

b)4x² + 9y² = 1;

c)4x² + 9y² = 36;

Đáp án và hướng dẫn giải bài 1:

a) Ta có:

a² = 25 ⇒ a = 5 độ dài trục lớn 2a = 10

b² = 9 ⇒ b = 3 độ dài trục nhỏ 2a = 6

c² = a² – b² = 25 – 9 = 16 ⇒c = 4

Vậy hai tiêu điểm là : F₁(-4 ; 0) và F₂(4 ; 0)

Tọa độ các đỉnh :   A₁(-5; 0), A₂(5; 0),  B₁(0; -3),  B₂(0; 3).

b) 4x² + 9y² = 1

⇔ x² / (1/4) + y² / (1/9) = 1

Ta có:

a²=  1/4   ⇒ a = 1/2   ⇒ độ dài trục lớn 2a = 1

b² =  1/9 ⇒ b = 1/3 ⇒ độ dài trục nhỏ 2b = 2/3

c² = a² – b²  = 1/4 – 1/9 = 5/36 ⇒ c = (√5)/6

Vậy hai tiêu điểm là : F₁(-√5/6; 0) và F₂(√5/6; 0)

Tọa độ các đỉnh : A₁(-1/2; 0), A₂(1/2; 0),  B₁(0; -1/3 ),  B₂(0;1/3 ).

c) Chia 2 vế của phương trình cho 36 ta được :

⇒ x²/9 + y²/4 = 1

Từ đây suy ra: 2a = 6.     2b = 4,    c = √5

Vậy hai tiêu điểm là :  F₁(-√5 ; 0) và F₂(√5 ; 0)

Tọa độ các đỉnh:  A₁(-3; 0), A₂(3; 0),  B₁(0; -2),  B₂(0; 2).

Bài 2 trang 88 SGK Hình học lớp 10

Lập phương trình chính tắc của elip, biết:

a)  Trục lớn và trục nhỏ lần lươt  là 8 và 6

b) Trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6

Đáp án và hướng dẫn giải bài 2:

Phương trình chính tắc của elip có dạng ?²/a² + y²/b² = 1

a) Ta có a > b :

2a = 8 ⇒  a = 4 ⇒  a² = 16

2b = 6 ⇒  b = 3 ⇒  b² = 9

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng: x²/16 +y²/9 = 1

b) Ta có: 2a = 10 ⇒ a = 5 ⇒ a² = 25

2c = 6 ⇒ c = 3 ⇒ c² = 9

⇒  b² = a² – c²    ⇒  b² = 25 – 9 = 16

Vậy phương trình chính tắc của elip có dạng: x²/25 +y²/16 = 1

Bài 3 trang 88 SGK Hình học lớp 10

Lập phương trình chính tắc của elip trong các trường hợp sau:

a) Elip đi qua điểm M(0;3) và N(3;-12/5)

b) Elip có tiêu điểm là F1(-√3;0) và điểm M(1;√3/2) nằm trên elip

Đáp án và hướng dẫn giải bài 3:

a) (E) : x²/a² + y²/b² = 1

M(0;3) ∈ (E) ⇔ 9/b² = 1 => b =3

N(3;12/5) ∈ (E) <=> 9/a² + 144/25.b² = 1 ⇔ 9/a² + 16/25 = 1 ⇔ a² = 25   ⇒ a= 5

Phương trình chính tắc của elip là:  (E): x²/25 + y²/9 = 1

b) Tiêu điểm F1(-c;0) nên C = √3 và M (1; √3/2) thuoc (E) ⇒

1/a² + 3/4b² = 1

a² = b² + c² = b² + 3

Ta có hệ phương trình :

Phương trình chính tắc của (E) = x²/4 + y² = 1

Bài 4 trang 88 SGK Hình học lớp 10

Để cắt một bảng hiệu quảng cáo hình elip có các trục lớn là 80cm và trục nhỏ là 40 cm từ một tấm ván ép hình chữ nhật có kích thước 80cm x 40cm, người ta vẽ một hình elip lên tấm ván như hình 3.19. Hỏi phải ghim hai cái đinh cách các mép tấm ván ép bao nhiêu và lấy vòng dây có độ dài là bao nhiêu?

Đáp án và hướng dẫn giải bài 4:

Ta có:

2a  = 80 ⇒ a = 40

2b = 40 ⇒ b = 20

c² = a² – b² = 1200   => c = 20√3

Phải đóng đinh tại các điểm  F₁ , F₂   và cách mép ván:

F₂A  = OA – OF₂ = 40 – 20√3

⇒ F₂A = 20(2 – √3)   ≈  5,4cm

Chu vi vòng dây bằng:   F₁.F₂+ 2a  =   40√3 + 80

⇒ F₁.F₂ + 2a  =   40(2 + √3)

F₁.F₂ + 2a  ≈ 149,3cm

Bài 5 trang 88 SGK Hình học lớp 10

Cho hai đường tròn C₁(F₁; R₁)  và C₂(F₂; R₂). C₁ nằm trong C₂ và F₁ ≠  F₂ . Đường tròn (C)   thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với C₁ và tiếp xúc trong với  C₂.Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn (C) di động trên một elip.

Đáp án và hướng dẫn giải bài 5:

Gọi R là bán kính của đường tròn (C)

(C) và C₁ tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

MF₁ = R₁+ R  (1)

(C) và C₂ tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:

MF₂ = R₂ – R  (2)

Từ (1) VÀ (2) ta được

MF₁  +   MF₂ = R₁+ R₂= R không đổi

Điểm M có tổng  các khoảng cách MF₁  +   MF₂ đến hai điểm cố định F₁ và F₂   bằng một độ dài không đổi R₁+ R₂

Vậy tập hợp điểm M là đường elip, có các tiêu điểm F₁ và F₂   và có tiêu cự

F_{1 .}F₂ = R₁+ R₂

Giải bài ôn tập chương 3 hình học lớp 10