Câu 56 trang 125 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho tứ diện ABCD có (BC = B{ m{D}} = AC = A{ m{D}};AB = a,C{ m{D}} = asqrt 3 ). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD, IJ = a.

a) Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Tính khoảng cách từ điểm cách đều bốn đỉnh A, B, C, D đến mỗi đỉnh đó.

Trả lời

 

a) 

(eqalign{
& Delta BCD = Delta ACD(c.c.c) cr
& Rightarrow BJ =AJ cr} )

Do đó (Delta ABJ) cân tại J, suy ra (IJ ot AB)

Chứng minh tương tự: (IJ ot CD)

Vậy IJ là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Gọi O là điểm cách đều các đỉnh A, B, C, D thì O thuộc đường thẳng IJ. Khi đó OA = OD. Điều này xảy ra khi và chỉ khi (I{A^2} + O{I^2} = O{J^2} + J{D^2}), đặt (I{ m{O}} = x) ta có đẳng thức

(eqalign{  & {{{a^2}} over 4} + {x^2} = {left( {a - x} ight)^2} + {left( {{{asqrt 3 } over 2}} ight)^2}  cr  &  Leftrightarrow x = {3 over 4}a cr} )

Như vậy khoảng cách từ điểm O đến mỗi đỉnh của tứ diện ABCD bằng

(sqrt {{{{a^2}} over 4} + {{9{{ m{a}}^2}} over {16}}}  = {{asqrt {13} } over 4}).

Sachbaitap.com