16/05/2018, 16:07

Câu 55 trang 124 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập ...

Giải bài tập

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi C1 là trung điểm của CC’.

a) Tính góc giữa hai đường thẳng C1B và A’B’. Tính góc giữa hai mặt phẳng (C1AB) và (ABC).

b) Chứng minh rằng hình chóp C1.ABB’A’ là hình chóp tứ giác đều.

c) Một mặt phẳng (P) chứa cạnh AB, tạo với mặt phẳng đáy (ABC) góc φ và cắt hình lăng trụ đã cho theo hình có diện tích khác không. Tính diện tích thiết diện đó theo a và φ.

Trả lời

 

a) (Hình 1) Vì AB // A’B’ nên góc giữa C1B và A’B’ là góc giữa C1B và AB. Dễ thấy AC1 = BC1 nên AC1B là tam giác cân. Từ đó (widehat {AB{C_1}} < {90^0}). Vậy góc giữa AB và AC1 là (widehat {AB{C_1}}). Gọi M là trung điểm của AB thì:

(MB = {a over 2},B{C_1} = {{asqrt 5 } over 2},MB ot M{C_1}).

Từ đó (cos widehat {{C_1}BA} = {{MB} over {{C_1}B}} = {1 over {sqrt 5 }}).

Cũng từ kết quả trên, ta có (left( {{C_1}MC} ight) ot AB) và C1MC là tam giác vuông tại C nên góc giữa mp(C1AB) và (CAB) là (widehat {{C_1}MC}).

Ta có ( an widehat {{C_1}MC} = {{{C_1}C} over {MC}} = {{{a over 2}} over {{{asqrt 3 } over 2}}} = {1 over {sqrt 3 }}).

Vậy (widehat {{C_1}MC} = {30^0}) hay góc giữa mp(C1AB) và mp(ABC) bằng 30°.

b) ABB’A’ là hình vuông. Dễ thấy ({C_1}A = {C_1}B = {C_1}A' = {C_1}B' = {{asqrt 5 } over 2}).

Khi đó ({C_1}O ot AB',{C_1}O ot A'Bleft( {O = A'B cap AB'} ight)).

Vậy C1.ABB’A’ là hình chóp tứ giác đều.

c) Trong mp(M, CC’) kẻ tia Mt sao cho (widehat {CMt} = varphi ) thì mp(AB, Mt) chính là mặt phẳng (P) phải tìm.

- Nếu ({0^0} le varphi  le widehat {C'MC}) thì thiết diện là tam giác ABN (Hình 2)

Khi đó:

(eqalign{  & {S_{ABN}} = {1 over 2}AB.MN  cr  & AB = a,MN = {{MC} over {cos varphi }} = {{asqrt 3 } over {2cos varphi }} cr} )

Vậy ({S_{ABN}} = {{{a^2}sqrt 3 } over {4cos varphi }})

 

- Nếu (widehat {C'MC} < varphi  < {90^0}) thì thiết diện là hình thang cân ABEF (Hình 3).

Khi đó ({S_{ABEF}} = {S_{ABN}} - {S_{EFN}}).

Ta có

(eqalign{  & {S_{ABN}} = {{{a^2}sqrt 3 } over {4cos varphi }}  cr  & {{{S_{EFN}}} over {{S_{ABN}}}} = {left( {{{NE} over {NB}}} ight)^2} = {left( {{{NC'} over {NC}}} ight)^2}  cr  &  = {{{{left( {{{asqrt 3 } over 2} an varphi  - a} ight)}^2}} over {{{left( {{{asqrt 3 } over 2} an varphi } ight)}^2}}} = {{{{left( {sqrt 3 an varphi  - 2} ight)}^2}} over {3{{ an }^2}varphi }} cr} )

Vậy ({S_{EFN}} = {{{a^2}sqrt 3 } over {4cos varphi }}.{{{{left( {sqrt 3 an varphi  - 2} ight)}^2}} over {3{{ an }^2}varphi }})

Từ đó

(eqalign{  & {S_{ABEF}} = {{{a^2}sqrt 3 } over {4.cos varphi }}.left[ {1 - {{{{left( {sqrt 3 an varphi  - 2} ight)}^2}} over {3{{ an }^2}varphi }}} ight]  cr  &  = {{{a^2}sqrt 3 } over {12{{ an }^2}varphi cos varphi }}.left( {4sqrt 3 an varphi  - 4} ight)  cr  &  = {{{a^2}sqrt 3 } over {3 an varphi .sin varphi }}left( {sqrt 3 an varphi  - 1} ight) cr} )

- Nếu (varphi  = {90^0}) thì thiết diện là hình vuông ABB’A’. Khi đó diện tích thiết diện bằng a2.

Sachbaitap.com

Mới nhất

Vultr khuyến mại giảm giá 60% gói Bare Metal Server tặng 100$

Vultr tung khuyến mãi giảm giá 60% giá gói dịch vụ Bare Metal Server và tặng thêm 100USD Free Credit dùng thử cho người dùng Vultr. Đây là gói dịch vụ máy chủ của Vultr vốn đã rất quen thuộc với doanh nghiệp, nhưng lần giảm giá lần này quá khủng có thể áp dụng trọn đời. Gói Bare Metal Instance giá ...

THVL là gì, vì sao THVL bị game thủ ghét và chế ảnh Facebook

THVL là gì, vì sao THVL bị các game thủ ghét và chế ảnh Facebook, thực ra nó xuất phát từ phóng sự của Đài truyền hình này khi nói về tác hại của chơi game. Tất cả đều do cách nhìn khác nhau dẫn tới việc không tìm được điểm chung. THVL đã có một số chương trình lên án thói chơi game quá đà, đưa ra ...

Những stt dễ thương vô đối của các cô nàng mũm mĩm, mập chút thôi mà đáng yêu lắm

Thực tình tôi cũng muốn giảm béo, nhưng một người đã vừa thông minh, xinh đẹp như tôi nay lại còn thon thả, sẽ khiến các cô gái khác rất mặc cảm. Bạn không mập , chỉ là người ta dễ thấy bạn hơn thôi. Lên vài ký? Không sao, người mập khó bị bắt cóc hơn đó. Bao nhiều nỗi cô đơn, ...

Thủ phạm hút nước khiến khúc sông hơn 1.000 mét biến mất

Toàn bộ nước ở khúc sông Doubs chảy qua phía đông nước Pháp bị hút sạch xuống lòng đất bởi những vết nứt và miệng hố dưới lòng sông. Xác cá và sỏi đá còn sót lại sau khi khúc sông biến mất. (Ảnh: AFP). Lòng sông có cấu tạo từ đá vôi rất dễ nứt vỡ. (Ảnh: AFP). Khúc sông Doubs ...

Cây sống đời là gì?

Là biểu tượng cho sức khỏe và hạnh phúc gia đình, cây sống đời thường được ưu tiên chọn trồng làm cảnh trong nhà. Không những vậy, từ xưa người dân đã dùng cây như là một vị thuốc dân gian chữa được rất nhiều bệnh. Cùng hiểu rõ hơn về những công dụng tuyệt vời của loại cây này qua bài viết dưới đây ...