16/05/2018, 16:07

Câu 55 trang 124 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập ...

Giải bài tập

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi C1 là trung điểm của CC’.

a) Tính góc giữa hai đường thẳng C1B và A’B’. Tính góc giữa hai mặt phẳng (C1AB) và (ABC).

b) Chứng minh rằng hình chóp C1.ABB’A’ là hình chóp tứ giác đều.

c) Một mặt phẳng (P) chứa cạnh AB, tạo với mặt phẳng đáy (ABC) góc φ và cắt hình lăng trụ đã cho theo hình có diện tích khác không. Tính diện tích thiết diện đó theo a và φ.

Trả lời

 

a) (Hình 1) Vì AB // A’B’ nên góc giữa C1B và A’B’ là góc giữa C1B và AB. Dễ thấy AC1 = BC1 nên AC1B là tam giác cân. Từ đó (widehat {AB{C_1}} < {90^0}). Vậy góc giữa AB và AC1 là (widehat {AB{C_1}}). Gọi M là trung điểm của AB thì:

(MB = {a over 2},B{C_1} = {{asqrt 5 } over 2},MB ot M{C_1}).

Từ đó (cos widehat {{C_1}BA} = {{MB} over {{C_1}B}} = {1 over {sqrt 5 }}).

Cũng từ kết quả trên, ta có (left( {{C_1}MC} ight) ot AB) và C1MC là tam giác vuông tại C nên góc giữa mp(C1AB) và (CAB) là (widehat {{C_1}MC}).

Ta có ( an widehat {{C_1}MC} = {{{C_1}C} over {MC}} = {{{a over 2}} over {{{asqrt 3 } over 2}}} = {1 over {sqrt 3 }}).

Vậy (widehat {{C_1}MC} = {30^0}) hay góc giữa mp(C1AB) và mp(ABC) bằng 30°.

b) ABB’A’ là hình vuông. Dễ thấy ({C_1}A = {C_1}B = {C_1}A' = {C_1}B' = {{asqrt 5 } over 2}).

Khi đó ({C_1}O ot AB',{C_1}O ot A'Bleft( {O = A'B cap AB'} ight)).

Vậy C1.ABB’A’ là hình chóp tứ giác đều.

c) Trong mp(M, CC’) kẻ tia Mt sao cho (widehat {CMt} = varphi ) thì mp(AB, Mt) chính là mặt phẳng (P) phải tìm.

- Nếu ({0^0} le varphi  le widehat {C'MC}) thì thiết diện là tam giác ABN (Hình 2)

Khi đó:

(eqalign{  & {S_{ABN}} = {1 over 2}AB.MN  cr  & AB = a,MN = {{MC} over {cos varphi }} = {{asqrt 3 } over {2cos varphi }} cr} )

Vậy ({S_{ABN}} = {{{a^2}sqrt 3 } over {4cos varphi }})

 

- Nếu (widehat {C'MC} < varphi  < {90^0}) thì thiết diện là hình thang cân ABEF (Hình 3).

Khi đó ({S_{ABEF}} = {S_{ABN}} - {S_{EFN}}).

Ta có

(eqalign{  & {S_{ABN}} = {{{a^2}sqrt 3 } over {4cos varphi }}  cr  & {{{S_{EFN}}} over {{S_{ABN}}}} = {left( {{{NE} over {NB}}} ight)^2} = {left( {{{NC'} over {NC}}} ight)^2}  cr  &  = {{{{left( {{{asqrt 3 } over 2} an varphi  - a} ight)}^2}} over {{{left( {{{asqrt 3 } over 2} an varphi } ight)}^2}}} = {{{{left( {sqrt 3 an varphi  - 2} ight)}^2}} over {3{{ an }^2}varphi }} cr} )

Vậy ({S_{EFN}} = {{{a^2}sqrt 3 } over {4cos varphi }}.{{{{left( {sqrt 3 an varphi  - 2} ight)}^2}} over {3{{ an }^2}varphi }})

Từ đó

(eqalign{  & {S_{ABEF}} = {{{a^2}sqrt 3 } over {4.cos varphi }}.left[ {1 - {{{{left( {sqrt 3 an varphi  - 2} ight)}^2}} over {3{{ an }^2}varphi }}} ight]  cr  &  = {{{a^2}sqrt 3 } over {12{{ an }^2}varphi cos varphi }}.left( {4sqrt 3 an varphi  - 4} ight)  cr  &  = {{{a^2}sqrt 3 } over {3 an varphi .sin varphi }}left( {sqrt 3 an varphi  - 1} ight) cr} )

- Nếu (varphi  = {90^0}) thì thiết diện là hình vuông ABB’A’. Khi đó diện tích thiết diện bằng a2.

Sachbaitap.com

Bài liên quan

Câu 55 trang 61 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Điểm M thuộc cạnh AD, điểm N thuộc cạnh D’C’ sao cho AM : MD = D’N : NC’. ...

Câu 55 trang 14 Sách bài tập Hình Học 11 Nâng cao

Chứng minh rằng mỗi bộ ba điểm sau đây thẳng hàng. ...

Câu 9 trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C. Chứng tỏ rằng phép dời hình biến mỗi điểm A, B, C thành chính nó phải là phép đồng nhất. ...

Câu 4 trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Xác định điểm M trên (O; R). ...

Câu 2 trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Cho bốn đường thẳng a, b, a’, b’ trong đó a cắt b, a//a’ và b//b’. Tìm phép tịnh tiến biến a thành a’ và biến b thành b’. ...

Mới nhất

Những lưu ý khi nuôi ếch trong lồng lưới

Ếch là động vật lưỡng cư sống được cả trên cạn và dưới nước, ếch có khả năng hô hấp bằng phổi và qua da. Thịt ếch trắng hồng, dai, thơm ngon là nguồn cung cấp đạm rất tốt cho con người. Hiện nay, mô ...

Đặc điểm sinh học và cách sử dụng artemia

Artemia được sử dụng phổ biến trong nuôi trồng thủy sản. Ấu trùng Artemia mới nở là thức ăn tươi sống lý tưởng dùng trong ương nuôi ấu trùng tôm, cá. Artemia có giá trị dinh dưỡng rất cao, là thức ăn ...

Kỹ thuật trồng Rong xanh (Kappaphycus striatum)

Rong xanh - Kappaphycus striatum (Schmitz) Doty cũng thuộc họ của rong sụn ( Kappaphycus alvarezii ) nhưng là loài khác, có nhiều tính năng ưu việt hơn rong sụn. Rong xanh được Viện rong của ...

Mô hình: Nuôi bào ngư trên huyện đảo Phú Quý

Mô hình: “Nuôi bào ngư vành tai thương phẩm bằng lồng bè”, do Trạm khuyến nông Phú Quý thực hiện được triển khai từ dự án: Xây dựng mô hình nuôi ốc hương, hàu thái bình dương, và bào ngư ...

Kỹ thuật sản xuất giống Ếch và nuôi Ếch thương phẩm

1. KỸ THUẬT SẢN XUẤT ẾCH GIỐNG a. Nuôi vỗ ếch bố mẹ * Nơi nuôi vỗ: - Chọn ao có độ sâu 40 - 50 cm có nguồn nước sạch và hang trú ẩn, bờ có bóng mát. Thả bèo tây hoặc rau muống ...

Kỷ thuật sinh sản bào ngư chín lỗ

I. Phạm vi: - Bãi nuôi có nề​n đáy là các đá phiến xếp tầng, đá tảng lớn tạo nên các hang hốc cho bào ngư ẩn nấp. Nơi có nhiều thực vật biển như rong mơ ( Sargassum ), rong câu ( Gracilaria ...

Các mô hình kỹ thuật trồng rong sụn

Rong sụn là loại rong biển có giá trị cao, thường được làm nguyên liệu chế biến Carrageenan dùng trong công nghiệp thực phẩm, y tế và nhiều ngành khác. Carrageenan là mặt hàng xuất khẩu quý, được ...

Kỹ thuật nuôi cá lăng nha thương phẩm

Điều kiện ao, bè nuôi Để nuôi cá lăng nha đạt hiệu quả, có thể áp dụng hình thức nuôi bán thâm canh trong ao hoặc trong bè. Tuy nhiên, nuôi trong bè cá lớn nhanh hơn. Ao nuôi rộng 1.000m2 ...

Kỹ thuật nuôi ếch Thái trong bể xi măng

1. Chuẩn bị bể nuôi - Bể nuôi ếch có diện tích trung bình 6 - 10m 2 , tường cao 1,2 - 1,5m để tránh ếch nhảy ra. Đáy bể nên làm hơi nghiêng để dễ thay nước. Nên che lưới nylon trên bể để tránh ...

Kỹ thuật trồng rong nho

Kĩ thuật nuôi trồng Trồng rong nho có 3 phương pháp chủ yếu hiện nay là phương pháp trồng đáy, phương pháp kê sàn và phương pháp trồng trong vỉ lưới. Phương pháp trồng đáy: dùng các nẹp ...