Câu 53 trang 124 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho hình lăng trụ đều ABC.A’B’C’ cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h. Điểm M thuộc đoạn AB’ sao cho ({{MA} over {MB'}} = {5 over 4}).

a) Tính góc giữa hai đường thẳng AC và BC’.

b) Một mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với các đường thẳng A’C và BC’ cắt đường thẳng CC’ tại C₁, tính tỉ số ({{{C_1}C} over {{C_1}C'}}).

Trả lời

 

a) Vì AC // A’C’ nên góc giữa AC và BC’ bằng góc giữa A’C’ và BC’.

Gọi H’ là trung điểm của A’C’, do BA’ = BC’ nên (widehat {BH'C'} = {90^0}). Vậy (widehat {H'C'B}) là góc giữa hai đường thẳng AC và BC’. Đặt (widehat {H'C'B} = alpha ) thì (cos alpha  = {{H'C'} over {BC'}} = {a over {2sqrt {{h^2} + {a^2}} }}).

Vậy góc giữa AC và BC’ là α mà (cos alpha  = {a over {2sqrt {{h^2} + {a^2}} }}).

b) Lấy B₁ thuộc B’B sao cho BB’ = BB₁, khi đó CB₁ // C’B. Vậy mp(P) đi qua M, song song với BC’ và A’C chính là mặt phẳng đi qua điểm M và song song với mp(A’CB₁).

Dễ thấy mp(A’CB₁) cắt hình lăng trụ đã cho theo thiết diện là A’HC còn (P) cắt lăng trụ ABC.A’B’C’ theo thiết diện IJC₁NQ, trong đó IQ là đường thẳng đi qua điểm M và song song với A’H, còn (IJ//HC,J{C_1}//BC',{C_1}N//A'C) .

Ta cos ({{{C_1}C} over {{C_1}C'}} = {{CJ} over {BJ}} = {{HI} over {IB}})

Đặt (HI = x). Do ({{MA} over {MB'}} = {5 over 4}) nên ({{AI} over {B'Q}} = {5 over 4})

hay

(eqalign{  & {{{a over 2} + x} over {a - x}} = {5 over 4}  cr  &  Rightarrow 2{ m{a}} + 4{ m{x}} = 5{ m{a}} - 5{ m{x}} Rightarrow x = {a over 3} cr} )

Khi đó (IB = {a over 2} - {a over 3} = {a over 6})

Vậy ({{{C_1}C} over {{C_1}C'}} = {{{a over 3}} over {{a over 6}}} = 2).

Sachbaitap.com