Câu 46 trang 123 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Trong mặt phẳng (P), cho hình thoi ABCD với (AB = a,AC = {{2{ m{a}}sqrt 6 } over 3}). Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại giao điểm tại O của hai đường chéo hình thoi, ta lấy điểm S sao cho SB  = a. Chứng minh rằng:

a) Tam giác ASC vuông.

b) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) vuông góc với nhau.

Trả lời

 

a) Ta có (A{C^2} + B{{ m{D}}^2} = 4{{ m{a}}^2},AC = {{2{ m{a}}sqrt 6 } over 3})

nên (B{{ m{D}}^2} = {{4{{ m{a}}^2}} over 3} Rightarrow O{B^2} = {{{a^2}} over 3})

Xét tam giác vuông SOB, ta có

(S{O^2} = S{B^2} - O{B^2} = {{2{{ m{a}}^2}} over 3} Rightarrow SO = {{asqrt 6 } over 3})

Vậy tam giác SAC có trung tuyến SO bằng nửa AC nên SAC là tam giác vuông tại S.

b) Trong mặt phẳng (SOA) kẻ OA₁ vuông góc với SA thì (SA ot mpleft( {{A_1}B{ m{D}}} ight)), từ đó (widehat {B{A_1}D})  hoặc ({180^0} - widehat {B{A_1}D}), là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD).

Ta có

(eqalign{  & O{A_1} = {{OA.OS} over {SA}} = {{OA.OS} over {sqrt {O{A^2} + O{S^2}} }}  cr  &  = {1 over 2}.{{asqrt 6 } over 3}.sqrt 2  = {{asqrt 3 } over 3} cr} )

Mặt khác (B{ m{D}} = {{2asqrt 3 } over 3}), từ đó (widehat {B{A_1}D} = {90^0}) hay hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc.

Sachbaitap.com