16/05/2018, 16:10

Câu 38 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập ...

Giải bài tập

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) đường kính AC = 2R. Gọi H là điểm thuộc AC (0 < AH < 2R). Một đường thẳng ∆ đi qua H cắt đường tròn (C) tại hai điểm B và D. Gọi S là điểm cố định sao cho SA vuông góc với (P), đặt SA = h. Một mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt các đường thẳng SB, SC, SD, SH lần lượt tại các điểm B1, C1, D1, H1.

a) Chứng minh rằng tứ giác AB1C1D1 nôi tiếp một đường tròn.

b) Đường thẳng ∆ phải thỏa mãn điều kiện gì để H1 là trung điểm của B1D1?

c) Đường thẳng ∆ phải thỏa mãn điều kiện gì để AB1C1D1 là hình vuông?

Trả lời

 

a) Vì (Q) qua A và (left( Q ight) ot SC) nên (A{B_1} ot SC).

Mặt khác dễ thấy (BC ot left( {SAB} ight)) nên (BC ot A{B_1}).

Vậy (A{B_1} ot mpleft( {SBC} ight)), tức là (A{B_1} ot {B_1}{C_1}).

Tương tự như trên, ta có (A{{ m{D}}_1} ot {D_1}{C_1}.)

Do đó, tứ diện AB1C1D1 nội tiếp đường tròn.

b)

 

 Do tứ giác AB1C1D1 nội tiếp đường tròn đường kính AC1 mà AC1 cắt B1D1, tại H1 nên H1 là trung điểm của B1D1, khi đó xảy ra một trong hai trường hợp sau:

- Trường hợp 1: ({B_1}{D_1} ot A{C_1}) tại H1 (Hình 1)

- Trường hợp 2: B1D1 qua trung điểm H1 của AC1 (Hình 2)

Xét trường hợp 1

Vì ({B_1}{D_1} ot A{C_1}) nên (A{B_1} = A{{ m{D}}_1})

Mặt khác (A{B_1},A{{ m{D}}_1}) là hai đường cao của hai tam giác vuông SAB và SAD nên

(A{B_1} = A{{ m{D}}_1} Leftrightarrow AB = A{ m{D}})

(Vì ({1 over {A{S^2}}} + {1 over {A{B^2}}} = {1 over {AB_1^2}}) và ({1 over {A{S^2}}} + {1 over {A{D^2}}} = {1 over {AD_1^2}}))

Lại có AC là đường kính của (C) nên

(AB = A{ m{D}} Leftrightarrow { m{BD}} ot AC).

Vậy nếu đường thẳng ∆ vuông góc với AC tại H mà 0 < AH < AC thì H1 là trung điểm của B1D1.

Xét trường hợp 2 (Hình 3)

Kẻ C1K // H1H, do H1 là trung điểm của AC1 nên AH = HK = x, từ đó CK = 2R – 2x. Khi đó

(eqalign{  & {{2{ m{R}} - 2{ m{x}}} over {2{ m{R}} - x}} = {{CK} over {CH}} = {{C{C_1}} over {C{ m{S}}}}  cr  &  = {{C{C_1}.C{ m{S}}} over {C{{ m{S}}^2}}} = {{A{C^2}} over {C{{ m{S}}^2}}} = {{4{{ m{R}}^2}} over {{h^2} + 4{R^2}}}  cr  &  Leftrightarrow left( {R - x} ight)left( {{h^2} + 4{{ m{R}}^2}} ight) = 2{R^2}left( {2{ m{R}} - x} ight)  cr  &  Leftrightarrow x = {{R{h^2}} over {{h^2} + 2{{ m{R}}^2}}} cr} )

Dễ thấy 0 < x < 2R

Vậy nếu đường thẳng ∆ quay quanh điểm H mà H được xác định bởi

(AH = x = {{R{h^2}} over {{h^2} + 2{{ m{R}}^2}}},H in AC)

thì H1 là trung điểm của B1D1

Sachbaitap.com

Bài liên quan

Câu 38 trang 57 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Cho tứ diện ABCD. Trọng tâm G của tam giác ABD. ...

Câu 1 trang 5 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao

Chứng minh rằng phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng đó. ...

Câu 9 trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C. Chứng tỏ rằng phép dời hình biến mỗi điểm A, B, C thành chính nó phải là phép đồng nhất. ...

Câu 4 trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Xác định điểm M trên (O; R). ...

Câu 2 trang 6 Sách bài tập Hình Học 11 nâng cao.

Cho bốn đường thẳng a, b, a’, b’ trong đó a cắt b, a//a’ và b//b’. Tìm phép tịnh tiến biến a thành a’ và biến b thành b’. ...

Mới nhất

Những lưu ý khi nuôi ếch trong lồng lưới

Ếch là động vật lưỡng cư sống được cả trên cạn và dưới nước, ếch có khả năng hô hấp bằng phổi và qua da. Thịt ếch trắng hồng, dai, thơm ngon là nguồn cung cấp đạm rất tốt cho con người. Hiện nay, mô ...

Đặc điểm sinh học và cách sử dụng artemia

Artemia được sử dụng phổ biến trong nuôi trồng thủy sản. Ấu trùng Artemia mới nở là thức ăn tươi sống lý tưởng dùng trong ương nuôi ấu trùng tôm, cá. Artemia có giá trị dinh dưỡng rất cao, là thức ăn ...

Kỹ thuật trồng Rong xanh (Kappaphycus striatum)

Rong xanh - Kappaphycus striatum (Schmitz) Doty cũng thuộc họ của rong sụn ( Kappaphycus alvarezii ) nhưng là loài khác, có nhiều tính năng ưu việt hơn rong sụn. Rong xanh được Viện rong của ...

Mô hình: Nuôi bào ngư trên huyện đảo Phú Quý

Mô hình: “Nuôi bào ngư vành tai thương phẩm bằng lồng bè”, do Trạm khuyến nông Phú Quý thực hiện được triển khai từ dự án: Xây dựng mô hình nuôi ốc hương, hàu thái bình dương, và bào ngư ...

Kỹ thuật sản xuất giống Ếch và nuôi Ếch thương phẩm

1. KỸ THUẬT SẢN XUẤT ẾCH GIỐNG a. Nuôi vỗ ếch bố mẹ * Nơi nuôi vỗ: - Chọn ao có độ sâu 40 - 50 cm có nguồn nước sạch và hang trú ẩn, bờ có bóng mát. Thả bèo tây hoặc rau muống ...

Kỷ thuật sinh sản bào ngư chín lỗ

I. Phạm vi: - Bãi nuôi có nề​n đáy là các đá phiến xếp tầng, đá tảng lớn tạo nên các hang hốc cho bào ngư ẩn nấp. Nơi có nhiều thực vật biển như rong mơ ( Sargassum ), rong câu ( Gracilaria ...

Các mô hình kỹ thuật trồng rong sụn

Rong sụn là loại rong biển có giá trị cao, thường được làm nguyên liệu chế biến Carrageenan dùng trong công nghiệp thực phẩm, y tế và nhiều ngành khác. Carrageenan là mặt hàng xuất khẩu quý, được ...

Kỹ thuật nuôi cá lăng nha thương phẩm

Điều kiện ao, bè nuôi Để nuôi cá lăng nha đạt hiệu quả, có thể áp dụng hình thức nuôi bán thâm canh trong ao hoặc trong bè. Tuy nhiên, nuôi trong bè cá lớn nhanh hơn. Ao nuôi rộng 1.000m2 ...

Kỹ thuật nuôi ếch Thái trong bể xi măng

1. Chuẩn bị bể nuôi - Bể nuôi ếch có diện tích trung bình 6 - 10m 2 , tường cao 1,2 - 1,5m để tránh ếch nhảy ra. Đáy bể nên làm hơi nghiêng để dễ thay nước. Nên che lưới nylon trên bể để tránh ...

Kỹ thuật trồng rong nho

Kĩ thuật nuôi trồng Trồng rong nho có 3 phương pháp chủ yếu hiện nay là phương pháp trồng đáy, phương pháp kê sàn và phương pháp trồng trong vỉ lưới. Phương pháp trồng đáy: dùng các nẹp ...