16/05/2018, 16:10

Câu 38 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập ...

Giải bài tập

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn (C) đường kính AC = 2R. Gọi H là điểm thuộc AC (0 < AH < 2R). Một đường thẳng ∆ đi qua H cắt đường tròn (C) tại hai điểm B và D. Gọi S là điểm cố định sao cho SA vuông góc với (P), đặt SA = h. Một mặt phẳng (Q) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt các đường thẳng SB, SC, SD, SH lần lượt tại các điểm B1, C1, D1, H1.

a) Chứng minh rằng tứ giác AB1C1D1 nôi tiếp một đường tròn.

b) Đường thẳng ∆ phải thỏa mãn điều kiện gì để H1 là trung điểm của B1D1?

c) Đường thẳng ∆ phải thỏa mãn điều kiện gì để AB1C1D1 là hình vuông?

Trả lời

 

a) Vì (Q) qua A và (left( Q ight) ot SC) nên (A{B_1} ot SC).

Mặt khác dễ thấy (BC ot left( {SAB} ight)) nên (BC ot A{B_1}).

Vậy (A{B_1} ot mpleft( {SBC} ight)), tức là (A{B_1} ot {B_1}{C_1}).

Tương tự như trên, ta có (A{{ m{D}}_1} ot {D_1}{C_1}.)

Do đó, tứ diện AB1C1D1 nội tiếp đường tròn.

b)

 

 Do tứ giác AB1C1D1 nội tiếp đường tròn đường kính AC1 mà AC1 cắt B1D1, tại H1 nên H1 là trung điểm của B1D1, khi đó xảy ra một trong hai trường hợp sau:

- Trường hợp 1: ({B_1}{D_1} ot A{C_1}) tại H1 (Hình 1)

- Trường hợp 2: B1D1 qua trung điểm H1 của AC1 (Hình 2)

Xét trường hợp 1

Vì ({B_1}{D_1} ot A{C_1}) nên (A{B_1} = A{{ m{D}}_1})

Mặt khác (A{B_1},A{{ m{D}}_1}) là hai đường cao của hai tam giác vuông SAB và SAD nên

(A{B_1} = A{{ m{D}}_1} Leftrightarrow AB = A{ m{D}})

(Vì ({1 over {A{S^2}}} + {1 over {A{B^2}}} = {1 over {AB_1^2}}) và ({1 over {A{S^2}}} + {1 over {A{D^2}}} = {1 over {AD_1^2}}))

Lại có AC là đường kính của (C) nên

(AB = A{ m{D}} Leftrightarrow { m{BD}} ot AC).

Vậy nếu đường thẳng ∆ vuông góc với AC tại H mà 0 < AH < AC thì H1 là trung điểm của B1D1.

Xét trường hợp 2 (Hình 3)

Kẻ C1K // H1H, do H1 là trung điểm của AC1 nên AH = HK = x, từ đó CK = 2R – 2x. Khi đó

(eqalign{  & {{2{ m{R}} - 2{ m{x}}} over {2{ m{R}} - x}} = {{CK} over {CH}} = {{C{C_1}} over {C{ m{S}}}}  cr  &  = {{C{C_1}.C{ m{S}}} over {C{{ m{S}}^2}}} = {{A{C^2}} over {C{{ m{S}}^2}}} = {{4{{ m{R}}^2}} over {{h^2} + 4{R^2}}}  cr  &  Leftrightarrow left( {R - x} ight)left( {{h^2} + 4{{ m{R}}^2}} ight) = 2{R^2}left( {2{ m{R}} - x} ight)  cr  &  Leftrightarrow x = {{R{h^2}} over {{h^2} + 2{{ m{R}}^2}}} cr} )

Dễ thấy 0 < x < 2R

Vậy nếu đường thẳng ∆ quay quanh điểm H mà H được xác định bởi

(AH = x = {{R{h^2}} over {{h^2} + 2{{ m{R}}^2}}},H in AC)

thì H1 là trung điểm của B1D1

Sachbaitap.com

Mới nhất

Vultr khuyến mại giảm giá 60% gói Bare Metal Server tặng 100$

Vultr tung khuyến mãi giảm giá 60% giá gói dịch vụ Bare Metal Server và tặng thêm 100USD Free Credit dùng thử cho người dùng Vultr. Đây là gói dịch vụ máy chủ của Vultr vốn đã rất quen thuộc với doanh nghiệp, nhưng lần giảm giá lần này quá khủng có thể áp dụng trọn đời. Gói Bare Metal Instance giá ...

THVL là gì, vì sao THVL bị game thủ ghét và chế ảnh Facebook

THVL là gì, vì sao THVL bị các game thủ ghét và chế ảnh Facebook, thực ra nó xuất phát từ phóng sự của Đài truyền hình này khi nói về tác hại của chơi game. Tất cả đều do cách nhìn khác nhau dẫn tới việc không tìm được điểm chung. THVL đã có một số chương trình lên án thói chơi game quá đà, đưa ra ...

Những stt dễ thương vô đối của các cô nàng mũm mĩm, mập chút thôi mà đáng yêu lắm

Thực tình tôi cũng muốn giảm béo, nhưng một người đã vừa thông minh, xinh đẹp như tôi nay lại còn thon thả, sẽ khiến các cô gái khác rất mặc cảm. Bạn không mập , chỉ là người ta dễ thấy bạn hơn thôi. Lên vài ký? Không sao, người mập khó bị bắt cóc hơn đó. Bao nhiều nỗi cô đơn, ...

Thủ phạm hút nước khiến khúc sông hơn 1.000 mét biến mất

Toàn bộ nước ở khúc sông Doubs chảy qua phía đông nước Pháp bị hút sạch xuống lòng đất bởi những vết nứt và miệng hố dưới lòng sông. Xác cá và sỏi đá còn sót lại sau khi khúc sông biến mất. (Ảnh: AFP). Lòng sông có cấu tạo từ đá vôi rất dễ nứt vỡ. (Ảnh: AFP). Khúc sông Doubs ...

Cây sống đời là gì?

Là biểu tượng cho sức khỏe và hạnh phúc gia đình, cây sống đời thường được ưu tiên chọn trồng làm cảnh trong nhà. Không những vậy, từ xưa người dân đã dùng cây như là một vị thuốc dân gian chữa được rất nhiều bệnh. Cùng hiểu rõ hơn về những công dụng tuyệt vời của loại cây này qua bài viết dưới đây ...