Câu 28 trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD; E là trung điểm của CB.

28. Trang 55 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB và SAD; E là trung điểm của CB.

a) Chứng minh rằng MN//BD.

b) Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MNE).

c) Gọi H và L lần lượt là các giao điểm của mp(MNE) với cạnh SB và SD. Chứng minh rằng LH//BD.

Giải

a) Gọi M’ và N’ lần lượt là trung điểm của AB và AD. Dễ thấy:

b) Ta có:

(eqalign{
& MM subset left( {MNE} ight) cr
& BD subset left( {ABCD} ight) cr
& MN//BD cr
& Rightarrow left( {MNE} ight) cap left( {ABCD} ight) = Ex cr} )

thỏa mãn Ex // MN // BD.

Vậy từ E kẻ đường thẳng song song với BD lần lượt cắt CD, AB tại F, I. Nối IM lần lượt cắt SB và SA tại H và K; nối KN cắt SD tại L. Thiết diện cần tìm là ngũ giác KLFEH.

c) Ta có:

(eqalign{
& NM subset mpleft( {MNE} ight) cr
& DB subset mpleft( {SBD} ight) cr
& MN//DB cr} )

Và (left( {MNE} ight) cap left( {SBD} ight) = LH)

Suy ra: LH // DB.

zaidap.com