Câu 28 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

a) Cho tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau. Gọi H là hình chiếu của D trên mp(ABC) và I là trung điểm của DH. Chứng minh rằng tứ diện IABC có IA, IB, IC đôi một vuông góc.

b) Cho tứ diện IABC có IA = IB = IC và IA, IB, IC đôi một vuông góc; H là hình chiếu của I trên mp(ABC). Gọi D là điểm đối xứng của H qua I. Chứng minh tứ diện DABC có các cạnh bằng nhau.

Trả lời

 

a) Kí hiệu cạnh của tứ diện đã cho là a, dễ thấy H là trọng tâm của tam giác ABC. Từ đó

(eqalign{  & D{H^2} = D{A^2} - A{H^2}  cr  &  = {a^2} - {left( {{{asqrt 3 } over 3}} ight)^2} = {{6{{ m{a}}^2}} over 9}  cr  &  Rightarrow DH = {{asqrt 6 } over 3} cr} )

Do I là trung điểm của DH nên

(IH = {{asqrt 6 } over 6})

Khi đó: (I{M^2} = I{H^2} + H{M^2} = {left( {{{asqrt 6 } over 6}} ight)^2} + {left( {{{asqrt 3 } over 6}} ight)^2} = {{{a^2}} over 4}),

tức là (IM = {a over 2}).

Xét tam giác IBC có IM là trung tuyến (IM = {1 over 2}BC). Vậy (IB ot IC).

Tương tự như trên, ta có IA, IB, IC đôi một vuông góc.

b) Vì IA, IB, IC đôi một vuông góc, IA = IB = IC và H là hình chiếu của I trên mặt phẳng (ABC) nên ABC là tam giác đều nhận H làm trọng tâm.

Ngoài ra ({1 over {I{H^2}}} = {1 over {I{A^2}}} + {1 over {I{B^2}}} + {1 over {I{C^2}}} = {3 over {I{A^2}}}) hay (IH = {{IA} over {sqrt 3 }}).

Do D là điểm đối xứng của H qua I nên:

(DH = {{2IA} over {sqrt 3 }}) và DA = DB = DC.

Đặt IA = x thì (DH = {{2{ m{x}}} over {sqrt 3 }},AB = xsqrt 2 ).

Khi đó

(eqalign{  & D{A^2} = D{H^2} + H{A^2} = {{4{x^2}} over 3} + {left( {{{xsqrt 2 .sqrt 3 } over 3}} ight)^2}  cr  &  = {{4{{ m{x}}^2}} over 3} + {{2{{ m{x}}^2}} over 3} = 2{{ m{x}}^2} cr} ).

Vậy (DA = DB = DC = xsqrt 2 ).

Do đó tứ diện DBCA có các cạnh bằng nhau.

Sachbaitap.com