Bài 1,2,3,4,5,6 trang 18 SGK giải tích lớp 12 ( Bài tập cực trị hàm số )

Bài 1,2,3,4,5,6 trang 18 SGK giải tích lớp 12 ( Bài tập cực trị hàm số )

Giải Bài tập bài 1,2,3,4,5,6 trang 18 SGK (Sách giáo khoa) giải tích lớp 12 – Bài tập cực trị hàm số- Chương 1: ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

A. Giải bài tập Sách giáo khoa

Bài 1. Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau :

a) y = 2x³ + 3x² – 36x – 10 ;          b) y = x ⁴+ 2x² – 3 ;

c) y = x + 1/x ;                              d) y = x³(1 – x)² ;

e)

Đáp án: a) y’ = 6x² + 6x -36 =6 (x² + x – 6);

y’= 0 ⇔ x² + x – 6= 0 ⇔ x=2; x=-3
Bảng biến thiên :

Hàm số đạt cực đại tại x = -3 , y_cđ = y(-3) = 71

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 , y_(ct)=y₍₂₎ =- 54

b) y’ = 4x³ + 4x  = 4x(x² + 1); y’ = 0 ⇔ x = 0.

Bảng biến thiên :

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 , y_(ct)=y₍₀₎ =- 3.

c) Tập xác định : D =R{0}

Bảng biến thiên : 

Hàm số đạt cực đại tại x = -1 , y_cđ = y(-1) = -2 ;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 , y_ct = y(1) = 2.

d) Tập xác định : D = R.

y’ = 3x²(1 – x)² + x³ . 2(1 – x)(-1) = x² (1 – x)[3(1 – x) – 2x] = x² (x – 1)(5x – 3) .   y’ = 0 ⇔ x = 0, x = 3/5, x = 1.

Bảng biến thiên : 

Hàm số đạt cực đại tại x = 3/5, y_cđ =y(3/5) = 108/3125 ;

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 , y_ct = y(1) = 0 .

e) Tập xác định : D = R.

Bảng biến thiên :
Hàm số đạt cực tiểu tại  x=1/2; y = √3/2

Bài 2. Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

a) y = x⁴ – 2x² + 1 ;            b) y = sin2x – x ;

c)y = sinx + cosx ;              d) y = x⁵ – x³ – 2x + 1.

Đáp án : ) y’ =  4x³ – 4x = 4x(x² – 1) ; y’ = 0 ⇔ 4x(x² – 1) = 0 ⇔ x = 0, x =  ±1.

y” = 12x² – 4 .    y”(0) = -4 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại x = 0, y_cđ = y(0) = 1.   y”(±1) = 8 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x =± 1, y_ct = y(±1) = 0.

b) y’ = 2cos2x – 1 ;

y” = -4sin2x .

nên hàm số đạt cực đại tại các điểm x = π/6+ kπ, y_cđ = sin(π/3+ k2π) – π/6 – kπ =  √3/2 – π/6- kπ , k ∈ Z.

nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x = -π/6+ kπ, y_ct = sin( -π/3+ k2π) + π/6 – kπ = -√3/2 + π/6 – kπ , k ∈ Z.

c) y = sinx + cosx = √2 sin(x+π/4);

y’ = √2cos (x+π/4) ;

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm  x= π/4 +k2π, đạt cực tiểu tại các điểm  

d) y’ = 5x⁴ – 3x² – 2 = (x² – 1)(5x² + 2) ; y’ = 0 ⇔ x² – 1 = 0 ⇔ x = ±1.

y” = 20x³ – 6x.

y”(1) = 14 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y_ct = y(1) = -1.

y”(-1) = -14 < 0 hàm số đạt cực đại tại x = -1, y_cđ = y(-1) = 3.

Bài 3.  Chứng minh rằng hàm số  y = √|x| không có đạo hàm tại x = 0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

Đặt y =f(x) = √|x|. Giả sử x > 0, ta có :

Do đó hàm số không có đạo hàm tại x = 0 . Tuy nhiên hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 vì  f(x) = √|x| ≥ 0 =f(0) ∀x ∈ R

Bài 4. Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số y = x³ – mx² – 2x + 1 luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

y’ = 3x² – 2mx – 2 , ∆’ = m²  + 6 > 0 nên y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.

Bài 5.  Tìm a và b để các cực trị của hàm số y = 5/3a²x³ + 2ax² – 9x + b đều là những số dương và x₀= -5/9 là điểm cực đại.

– Xét a = 0 hàm số trở thành y = -9x + b. Trường hợp này hàm số không có cực trị.

– Xét a # 0. Ta có : y’ = 5a²x² + 4ax – 9 ; y’= 0 ⇔ x=-1/α hoặc  x= -9/5α

– Với a < 0 ta có bảng biến thiên : 

Theo giả thiết x₀= -5/9 là điểm cực đại nên 1/α = -5/9 ⇔α =9/5. Theo yêu cầu bài toán thì

– Với a > 0 ta có bảng biến thiên :

Vì x₀= -5/9  là điểm cực đại nên . Theo yêu cầu bài toán thì:

Vậy các giá trị a, b cần tìm là:

Bài 6. Xác định giá trị của tham số m để hàm số  đạt cực đại tại x = 2.

Giải: Tập xác định : D =R {-m}

Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 2 thì y'(2) = 0 ⇔ m² + 4m + 3 = 0 ⇔ m=-1 hoặc m=-3

– Với m = -1,  ta có :

x=0 hoặc x=2.

Ta có bảng biến thiên :

Trường hợp này ta thấy hàm số không đạt cực đại tại x = 2.

– Với m = -3, ta có:

x=2 hoặc x=4

Ta có bảng biến thiên :

Trường hợp này ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 2.

Vậy m = -3 là giá trị cần tìm.

Bài tập luyện về cực trị hàm số